Faktor Pengenduran Optimum Masalah Nilai Sempadan Berkala Persamaan Pembeza Separa

Abstract

Pendiskretan persamaan pembeza separa (PPS) eliptik swadampingan linear peringkat kedua tertakluk kepada syarat sempadan berkala menghasilkan satu sistem persamaan linera berbentuk $M\mathbf{u} = \mathbf{s}$, dengan $M$ merupakan satu matriks segiempat sama tiga pepenjuru berkitar blok. Dalam Mohd Idris [1], hubungan antara jejari spektrum dan faktor pengenduran terlampau untuk masalah itu telah dirumuskan. Dalam kertas ini, percubaan berangka dilakukan untuk menunjukkan bahawa rumus pengenduran terlampau berturut-turut (PTB) piawai tidak boleh digunakan, walaupun faktor pengenduran optimuman kedua-dua kes bertindan secara asimptotnya, iaitu apabila saiz masalah itu adalah besar. Proses pengoptimuman faktor pengenduran untuk masalah berkala juga diilustrasikan. Katakunci: Faktor pengenduran optimum; matriks segiempat sama tiga pepenjuru berkitar; jejari spektrum; persamaan pembeza separa eliptik; syarat sempadan berkala The discretization of the second-order linear self-adjoint elliptic partial differential equation subject to periodic boundary conditions results in a system of linear equations of the form $M\mathbf{u} = \mathbf{s}$, where $M$ is block cycle tridiagonal square matrix. In Mohd Idris [1] the relationship between the spectral radius and over-relaxation factor of the problem has been derived. In this paper, numerical experiment is conducted to show that the standard SOR formula is not appliciable, although the optimum relaxation factor of both cases coincide asymptotically, that is , when the size of the problem is large. The optimization process of the relaxation factor for the periodic problem is also illustrated. Keywords: Optimum relaxation factor; cyclic tridigonal square matrix; spectral radius; elliptic partial differential equation; periodic boundary conditions