Teorem Mertens Bagi Orbit--Orbit Tertutup Subanjakan Mengikut Kelas Frobenius

Abstract

Misalkan $\sigma$ suatu subanjakan jenis terhingga dan $\tilde{\sigma}$ suatu perluasan kumpulan terhingga bagi $\sigma$. Dalam senario ini, orbit-orbit tertutup (orbit berkala) bagi $\sigma$ akan diangkat ke $\tilde{\sigma}$ mengikut kelas Frobenius masing-masing. Hasil utama yang akan dipaparkan dalam kertas ini ialah suatu rumus asimptot yang membabitkan kala orbit-orbit tertutup bagi $\sigma$ mengikut kelas Frobenius di atas. Rumus asimptot ini telah dimotivasikan oleh suatu hasil klasik dalam teori nombor analisis, iaitu Teorem Mertens. Sebagai korolari kepada hasil utama ini, hasil yang setara bagi kes $\sigma$ ditudungi dengan suatu perluasan homogen juga akan dipaparkan. Katakunci: Subanjakan Jenis Terhingga; Perluasan Kumpulan Terhingga; Orbit Tertutup; Kelas Frobenius; Teorem Mertens. Let $\sigma$ be a subshift of finite type and $\tilde{\sigma}$ a finite group extension of $\sigma$. In this scenario, the closed orbits (periodic orbits) of $\sigma$ are lifted onto $\tilde{\sigma}$ according to their Frobenius classes. The main result to be presented in this paper is an asymptotic formula involving the period of the $\sigma$-closed orbits with respect to their Frobenius classes. This asymptotic formula was motivated by a classical result in analytic number theory namely Mertens Theorem. As a corollary to this main result, a similiar result for the case when $\sigma$ is covered by a homogeneous extension is also provided. Keywords: Subshift of Finite Type; Finite Group Extension; Closed Orbits; Frobenius Class; Mertens Theorem.